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Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

• Cartan-Matrix einer Lie-Algebra

• Beispiele

• Eigenschaften

• Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen

• Bedeutung

• Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen

• Existenzsatz

• Beziehung zu Dynkin-Diagrammen

• Einzelnachweise

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei L {\displaystyle L} eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen C {\displaystyle \mathbb {C} } . H {\displaystyle H} sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für x ∈ ∈ L {\displaystyle x\in L} sei

a d x : L → → L , y ↦ ↦ [ x , y ] {\displaystyle \mathrm {ad} \,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]}

die sogenannte Adjunktion mit x {\displaystyle x} . In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch ⟨ ⟨ x , y ⟩ ⟩ := S p u r ( ( a d x ) ( a d y ) ) {\displaystyle \langle x,y\rangle :=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))} eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf H {\displaystyle H} ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums α α ∈ ∈ H ∗ ∗ {\displaystyle \alpha \in H^{*}} ist von der Form

α α x : H → → C , y ↦ ↦ ⟨ ⟨ x , y ⟩ ⟩ {\displaystyle \alpha _{x}:H\rightarrow \mathbb {C} ,\,y\mapsto \langle x,y\rangle }

für ein eindeutig bestimmtes x ∈ ∈ H {\displaystyle x\in H} . Mittels des Vektorraumisomorphismus ι ι : H → → H ∗ ∗ , x ↦ ↦ α α x {\displaystyle \iota :H\rightarrow H^{*},x\mapsto \alpha _{x}} überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf H ∗ ∗ {\displaystyle H^{*}} , das heißt man setzt ⟨ ⟨ α α , β β ⟩ ⟩ := ⟨ ⟨ ι ι − − 1 ( α α ) , ι ι − − 1 ( β β ) ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\langle \iota ^{-1}(\alpha ),\iota ^{-1}(\beta )\rangle } .

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge Φ Φ ⊂ ⊂ H ∗ ∗ ∖ ∖ { 0 } {\displaystyle \Phi \subset H^{*}\setminus \{0\}} linearer Funktionale α α : H → → C {\displaystyle \alpha :H\rightarrow \mathbb {C} } gibt, so dass

L = H ⊕ ⊕ ∑ ∑ α α ∈ ∈ Φ Φ L α α {\displaystyle L=H\oplus \sum _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }}

wobei

L α α := { x ∈ ∈ L | ∀ ∀ h ∈ ∈ H : ∃ ∃ n ∈ ∈ N : ( a d h − − α α ( h ) i d H ) n x = 0 } {\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|\,\forall h\in H:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,(\mathrm {ad} \,h-\alpha (h)\mathrm {id} _{H})^{n}x=0\}}

und L α α {\displaystyle L_{\alpha }} nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge Φ Φ {\displaystyle \Phi } der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge Φ Φ 0 ⊂ ⊂ Φ Φ {\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi } auswählen, so dass jedes α α ∈ ∈ Φ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } eindeutige Linearkombination der Elemente aus Φ Φ 0 {\displaystyle \Phi _{0}} ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. Φ Φ 0 = { α α 1 , … … , α α l } {\displaystyle \Phi _{0}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}\}} heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra H {\displaystyle H} .

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten A i , j := 2 ⟨ ⟨ α α i , α α j ⟩ ⟩ ⟨ ⟨ α α i , α α i ⟩ ⟩ , i , j = 1 , … … l {\displaystyle A_{i,j}:=2{\frac {\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{i},\alpha _{i}\rangle }},\quad i,j=1,\ldots l} .cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren α α 1 , … … , α α l {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}} beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln Φ Φ 0 ⊂ ⊂ Φ Φ {\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi } .

• ( 2 ) {\displaystyle (2)} ist die einzige 1 × × 1 {\displaystyle 1\times 1} -Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.

• ( 2 − − 1 − − 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}} ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.

Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Sei A = ( A i , j ) i , j {\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}} eine Cartan-Matrix. Dann gilt:

• A i , i = 2 {\displaystyle A_{i,i}=2} für alle i {\displaystyle i} .

• A i , j ∈ ∈ { 0 , − − 1 , − − 2 , − − 3 } {\displaystyle A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}} für alle i ≠ j {\displaystyle i\not =j}

• Wenn A i , j ∈ ∈ { − − 2 , − − 3 } {\displaystyle A_{i,j}\in \{-2,-3\}} so ist A j , i = − − 1 {\displaystyle A_{j,i}=-1}

• A i , j = 0 {\displaystyle A_{i,j}=0} genau dann, wenn A j , i = 0 {\displaystyle A_{j,i}=0}

• A {\displaystyle A} ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.cite-ref-3[3]

• Es gibt eine Diagonalmatrix D {\displaystyle D} und eine symmetrische Matrix B {\displaystyle B} mit A = D B {\displaystyle A=DB} .

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra L {\displaystyle L} äquivalent zu einer Matrix der Form

( A 1 0 0 A 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}

mit Untermatrizen A 1 {\displaystyle A_{1}} und A 2 {\displaystyle A_{2}} , so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass A 1 {\displaystyle A_{1}} und A 2 {\displaystyle A_{2}} ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung

L = L 1 ⊕ ⊕ L 2 {\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{2}}

in Ideale L 1 {\displaystyle L_{1}} und L 2 {\displaystyle L_{2}} , dabei ist A i {\displaystyle A_{i}} Cartan-Matrix von L i {\displaystyle L_{i}} . Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Die Zuordnung

Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren ↦ ↦ {\displaystyle \mapsto } Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen

ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.

• Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.

• Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.cite-ref-4[4]cite-ref-5[5]

A n = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 ) n ≥ ≥ 1 {\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1}

B n = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 2 2 ) n ≥ ≥ 2 {\displaystyle B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2}

C n = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 2 − − 1 2 ) n ≥ ≥ 3 {\displaystyle C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3}

D n = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 − − 1 2 − − 1 2 ) n ≥ ≥ 4 {\displaystyle D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4}

E 6 = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 − − 1 2 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 ) {\displaystyle E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}}

E 7 = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 − − 1 2 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 ) {\displaystyle E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}

E 8 = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 1 − − 1 2 − − 1 2 − − 1 − − 1 2 ) {\displaystyle E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}

F 4 = ( 2 − − 1 − − 1 2 − − 1 − − 2 2 − − 1 − − 1 2 ) {\displaystyle F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}}

G 2 = ( 2 − − 3 − − 1 2 ) {\displaystyle G_{2}={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen A = ( A i , j ) i , j {\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}} tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern { e 1 , … … , e n , h 1 , … … , h n , f 1 , … … , f n } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}} frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

[ h i , h j ] {\displaystyle [h_{i},h_{j}]}

[ h i , e j ] − − A i , j e j {\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}

[ h i , f j ] + A i , j f j {\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}

[ e i , f i ] − − h i {\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}

[ e i , f j ] {\displaystyle [e_{i},f_{j}]} für i ≠ j {\displaystyle i\not =j}

[ e i , [ e i [ … … [ e i , e j ] ] ] ] {\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]]} mit i ≠ j {\displaystyle i\not =j} und 1 − − A i , j {\displaystyle 1-A_{i,j}} Vorkommen von e i {\displaystyle e_{i}}

[ f i , [ f i [ … … [ f i , f j ] ] ] ] {\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]]} mit i ≠ j {\displaystyle i\not =j} und 1 − − A i , j {\displaystyle 1-A_{i,j}} Vorkommen von f i {\displaystyle f_{i}} .

Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension.cite-ref-6[6] Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix A = ( A i , j ) i , j {\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}} mit unterem Index n {\displaystyle n} konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit n {\displaystyle n} Knoten { x 1 , … … , x n } {\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}} und verbindet je zwei verschiedene Knoten x i {\displaystyle x_{i}} und x j {\displaystyle x_{j}} durch A i , j A j , i {\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}} Kanten. Sind x i {\displaystyle x_{i}} und x j {\displaystyle x_{j}} durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu x j {\displaystyle x_{j}} zeigt, wenn | A j , i | > | A i , j | {\displaystyle |A_{j,i}|>|A_{i,j}|} .cite-ref-7[7] Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 {\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}} angegeben.

cite-note-11. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.1: The Cartan matrix

cite-note-22. ↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.1: Cartan matrix of Φ Φ {\displaystyle \Phi }

cite-note-33. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 10.18

cite-note-44. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices

cite-note-55. ↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem

cite-note-66. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 7.5: The existence theorem

cite-note-77. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification Cartan matrices